viernes, 15 de julio de 2011

la estadistica es una de las ramas de la ciencia matematica

sábado, 25 de septiembre de 2010

combinaciones

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

Axiomas de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933

Axiomas de Kolmogórov

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma

La probabilidad de un suceso

A

es un número real mayor o igual que 0.

$P(A) \geq 0$

Segundo axioma

La probabilidad del total,

Ω

, es igual a 1, es decir,

$P(\Omega) = 1\!$

Tercer axioma

Si $A_1, A_2, \dots$ son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i)$ .

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

Propiedades que se deducen de los axiomas

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

$P(\varnothing)=0$ donde el conjunto vacío $(\varnothing)$ representa en probabilidad el suceso imposible
Para cualquier suceso $P(A) \leq 1$
$P(A^c)=1-P(A)\;\!$
Si $A \subseteq B$ entonces $P(A) \leq P(B)$
$P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Ejemplos

Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente $\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}$ , tomaremos como σ-álgebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por $\mathcal {P}(\Omega)$ ) y como función de probabilidad
$P(A)= \frac {\# A} {6}$ donde $\# A$ representa el número de elementos del conjunto

A

.
Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.

$P(A)= \frac {\# A} {6} \geq 0$ , puesto que es el cociente de dos números positivos
$P(\Omega)=P \left ( \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} \right )= \frac { \# \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} } {6} = \frac {6} {6} = 1$
Si $A= A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots$ de tal manera que $A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \ne j$ entonces

$\# A = \# A_1 + \# A_2 + \# A_3 + \cdots$

con lo que $P(A)=\sum P(A_i)$

viernes, 24 de septiembre de 2010

DIAGRAMA DE ARBOL

Diagrama de Arbol


Concepto:

un diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución.

Cómo interpretar un Diagrama de árbol:

Han de realizarse dos preguntas importantes para cada rama de un diagrama de árbol: ¿garantizará la realización de todas las actividades que figuran a la derecha de un rectángulo concreto que se alcance el objetivo que contiene dicho rectángulo?, y ¿son necesarias todas las actividades que figuran a la derecha de un rectángulo concreto para alcanzar con éxito ese objetivo? Habrá que tener en cuenta los errores más comunes que se suelen cometer, como son omitir una tarea importante, llevar a cabo tareas innecesarias o no utilizar los resultados para el seguimiento y aseguramiento de que se realiza el trabajo convenientemente. Para evitar dichos errores, nos apoyaremos en otras herramientas, como la tormenta de ideas, el diagrama de flujo o la matriz de planificación.

Cómo elaborar un Diagrama de árbol:
Escribir el objetivo principal en el extremo izquierdo de un papel amplio.
Subdividir y separar el objetivo principal en objetivos secundarios.
Continuar subdividiendo o separando, identificando y relacionando otros objetivos.
Garantizar una relación directa causa-efecto entre un subtítulo y sus divisiones.
Confirmar que alcanzando todas las submetas y tareas se logra el objetivo principal.

Ejemplos

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

1 Seleccionar tres niñas.

Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

Tres caras.

la teoria de conjunto

Teoría de conjuntos

Diagrama de Venn que muestra un conjunto

A

contenido en otro conjunto

U

y su complemento $A^\complement$

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.

NOTACIONES

Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).

El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir

La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir
.

Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .

Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

Subconjuntos y Superconjuntos
Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,

sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.

Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,

y también que:
,

significando que es superconjunto propio de .

Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues   ( es reflexiva)
           ( es antisimétrica)
           ( es transitiva)

Operaciones con conjuntos
Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos.

Unión $\cup$

Diagrama de Venn que ilustra $A\cup B$

Para cada par de conjuntos

A

B

existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como $A\cup B$ el cual contiene todos los elementos de

A

y de

B

. De manera más general, para cada conjunto

S

existe otro conjunto denotado como $\bigcup S$ de manera que sus elementos son todos los $x\in X$ tales que $X\in S$ . De esta manera $A\cup B$ es el caso especial donde $S=\{A,B~\}$ .
Es claro que el hecho de que un elemento

x

pertenezca a $A\cup B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que

x

es un elemento de

A

o al menos de

B

. Es decir

$x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\}$

$~B= \{\star, 6, \dagger, \square\}$

$~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\}$

$~S=\{A,B,C\}$

Entonces

$A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\}$

$A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\}$

$\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}$

$~A \cup \emptyset= A$

$~A \cup A = A$

Intersección ∩

Diagrama de Venn que ilustra $A\cap B$

Los elementos comunes a $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $A\cap B$ . Es decir, $A\cap B$ es el conjunto que contiene a todos los elementos de

A

que al mismo tiempo están en

B

$A\cap B = \{x\in A:x\in B\}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que $x\in A\cap B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x\in A$ y $x\in B$ . Es decir

$x\in(A\cap B)\iff (x\in A)\wedge(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{2, 4, 6\}$

$~B= \{4, 6, 8, 10\}$

$~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cap B = \{4,6\}$

$A\cap C = \emptyset$

$A\cap \emptyset = \emptyset$

$A\cap A = A$

Particiones

Dado un conjunto

A

y una serie de subconjuntos

A i

, se dice que

A i

son particiones de

A

cuando la unión de todas es el conjunto

A

, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos

A i

, forman parte del conjunto mas grande denotado

A

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra

A - B

Diagrama de Venn que muestra

B - A

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por $~A\setminus B$ . Es decir:

$A\setminus B= \{x\in A:x\notin B\}$ .

o dicho de otra manera:

$x\in(A\setminus B)\iff (x\in A) \wedge (x\notin B)$

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de $A~$ y $B~$ como $A-B~$ .
Una propiedad interesante de la diferencia es que

$A\cap B=A\setminus(A\setminus B)$

eso es porque

$\begin{array}{rcl} x\in A\cap B & \iff & (x\in A) \wedge (x\in B)\\ &\iff& (x\in A) \wedge (x\notin A\setminus B)\\ &\iff& x\in A\setminus (A\setminus B) \end{array}$

Ejemplos: Sin importar cual conjunto

A

elija usted, siempre se cumple

$A\setminus\emptyset = A$

$\emptyset\setminus A = \emptyset$

$\{0,1,2,3\}\setminus\{3,2\}=\{0,1\}$

Complemento

El complemento de un conjunto

A

, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto

U

pero no pertenecen a

A

, que lo representaremos por $A^\complement$ . Es decir

$A^\complement=U\setminus A$

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos A y B, a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia simétrica.

Los elementos de dos conjuntos A , B y C , a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos.

estadistica aplicada

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axioma de probabilidades

Axiomas de probabilidad

Axiomas de Kolmogórov

Primer axioma

Segundo axioma

Tercer axioma

Propiedades que se deducen de los axiomas

Ejemplos

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Ejemplos

la teoria de conjunto

Teoría de conjuntos

Unión $\cup$

Intersección ∩

Particiones

Diferencia

Complemento