probabilidad

La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de un dardo.

Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos de aleación en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.

En 1933, el matemático soviético Andrés Colmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.

Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Brownia), o las finanzas (donde destaca el modelo de Blacko y Schol para la valuación de acciones).
Definición clásica de probabilidad

La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.


La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:



Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.

Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática

La definición axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando Ω es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como
,

y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.

La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que Ω debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.


Probabilidad discreta

Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.

Probabilidad continua

Una variable aleatoria es una función medible


que da un valor numérico a cada suceso en Ω.

Función de densidad
Artículo principal: Función de densidad

La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.

permutacion

En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

• Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
• En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

combinacion y permutacion

tipos de graficos estadisticos

La ventaja de los gráficos con respecto a las tablas estudiadas en el capitulo anterior, es que permite una fácil interpretación y análisis de los datos, al mostrar las frecuencias mediante símbolos, barras, polígonos y sectores.


3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS






Gráficos Estadísticos: Son representaciones visuales que emplean símbolos, barras, polígonos y sectores, de los datos contenidos en tablas de frecuencias.










Trataremos siete tipos de gráficos estadísticos:


Gráfico de sectores


Gráficos de columnas


Histograma


Polígonos de frecuencias


Curvas suavizadas o curvas de frecuencias


Ojivas


Pictogramas


3.1 GRÁFICOS DE SECTORES
Este tipo de diagramas consideran una figura geométrica en que la distribución de frecuencias se reparte dentro de la figura como puede ser una dona, pastel, círculo o anillo, en el que cada porción dentro de la figura representa la información porcentual del total de datos.


3.1.1 Ejemplo de gráficos de sectores
Realizar un diagrama de sectores a partir de la siguiente tabla de frecuencia que resume las preferencias de un grupo de encuestados hacia cinco candidatos a elecciones locales:


Clase
Frecuencia


Candidato 1
25


Candidato 2
30


Candidato 3
45


Candidato 4
20


Candidato 5
20


Total
140






SOLUCIÓN


Para crear un gráfico de sectores, hay que tener en cuenta los siguientes pasos:


PASO 1: Determinar las frecuencias relativas para cada clase.


Clase
f
h


Candidato 1
25
0,1786


Candidato 2
30
0,2142


Candidato 3
45
0,3214


Candidato 4
20
0,1429


Candidato 5
20
0,1429


Total
140
1,0000






PASO 2: Determinar los ángulos que representan las porciones dentro de la figura para cada clase.


Un círculo esta formado por un ángulo de 360º. La porción correspondiente al Candidato 1 equivale a un 17,86% de esos 360º, es decir, 64,296º. Gráficamente tendríamos (se parte desde el eje vertical superior, y se comienza a graficar cada clase en sentido de las manecillas del reloj):


La tabla final con los ángulos repartidos para cada clase quedaría:


Clase
f
h
Ángulo


Candidato 1
25
0,1786
64,296º


Candidato 2
30
0,2142
77,112º


Candidato 3
45
0,3214
115,704º


Candidato 4
20
0,1429
51,444º


Candidato 5
20
0,1429
51,444º


Total
140
1,0000
360º




El gráfico definitivo se muestra a continuación (nótese que cada sector se identifica con un color diferente):


3.1.2 Características de los gráficos de sectores
No muestran frecuencias acumuladas.


Se prefiere para el tratamiento de datos cualitativos o cuasicualitativos.


La mayor área (o porción de la figura) representa la mayor frecuencia.


Son muy fáciles de elaborar.


Suelen utilizarse para representar tablas tipo A.


La figura completa equivale al 100% de los datos (360º).


3.1.3 Construcción de los gráficos de sectores en Excel
Vamos a explicar la creación de gráfico de sectores a partir del ejemplo anterior. Los primero es trasladar la tabla de datos (a partir de la celda B2) en una hoja vacía:


En el caso de Excel, solo es necesario trabajar con una sola frecuencia. Ubiquémoslos en una celda fuera de la tabla que acabamos de crear y pulsemos el botón de Asistentes para Gráficos o elija la opción Gráfico en el menú Insertar. El asistente cuenta de cuatro pasos sencillos para la creación de varios tipos de gráficos


Aparecerá una nueva ventana con diferentes tipos de gráficos. Seleccionemos el correspondiente al gráfico de sectores (Circular en Excel). En el tenemos la opción de 6 gráficos de sectores.


Para observar esta misma ventana en Microsoft Excel 2007 deberá situarse en la ficha INSERTAR y pulsar sobre el botón GRÁFICOS, luego pulsar el botón que amplía la ventana.


Se selecciona el tipo de gráfico CIRCULAR.


Al pulsar en el botón SIGUIENTE, pasaremos al pasos dos del asistente, en donde especificaremos los datos de origen para crear el gráfico. Pulsemos el botón AGREGAR que se encuentra en la ficha SERIE:


Este botón permite introducir distintas series de datos (provenientes de distintas tablas de frecuencias, variables o poblaciones). Excel pide tres campos para construir el gráfico:


Nombre: Título o encabezado del gráfico.


Valores: Las frecuencias que están en la tabla (puede ser relativa o absoluta, ambas no acumuladas).


Rótulos del eje de categorías (X): Representa las clases de la tabla de frecuencias.


Este formato se incluye en la versión 2007 en la opción EDITAR DATOS DE ORIGEN (“Edit Data Source”).


En el título escribamos “Gráfico de Sectores”. En valores señalemos las frecuencias absolutas (f):


En la casilla rótulos del eje de categoría corresponde al rango de las celdas que muestran las clases:


En MS Excel 2007 la ventana para introducir los datos de origen debe quedar como sigue:


Pulse nuevamente siguiente para dirigirnos al tercer paso del asistente. En el podremos editar tres fichas: Títulos, Leyendas y Rótulos de datos. En la ficha Leyenda (intermedia) desactivemos la casilla Mostrar Leyenda para ampliar un poco el gráfico (es opcional).


En la ficha Rótulos de datos activaremos Nombre de la categoría y Porcentajes


Microsoft Excel 2007 permite editar las opciones del gráfico directamente sobre el gráfico a partir de un DISEÑO RÁPIDO seleccionado.


Por último (paso 4), esta la opción de visualización (este paso se aplica en la versión 2007 al presionar sobre el botón MOVER GRÁFICO):


En una hoja nueva: El gráfico aparece en una nueva hoja, abarcando todo el espacio.


Como objeto en: Se crea el gráfico como un objeto editable en una hoja existente.


Optemos por activar en una hoja nueva, modificando el nombre de la hoja por “Gráfico de Sectores” y luego pulse en el botón Finalizar.


Podrá editar el gráfico en cualquier momento, modificando los datos de origen, formatos y tipo:

CONCEPTOS BASICOS SOBRE LA ESTADISTICA

Definición de estadística

Rama de las matemáticas que se refiere a un conjunto de métodos, normas, reglas y principios para observar, agrupar, describir, cuantificar y analizar el comportamiento de un grupo.

División de la estadística

Generalmente se considera que la estadística tiene dos funciones ( divisiones).
Una es describir conjuntos de datos ( estadística descriptiva); la otra es ayudar a hacer inferencias.Como ejemplo del uso descriptivo, se quiere saber cuantas mujeres zurdas fueron recluidas en la prision en Holloway en 1976. Para responder e esta pregunta, debe obtenerse información sobre la mano que usaban las prisioneras en 1976 y contar simplemente cuantas eran zurdas.
Para ilustrar el uso inferencial ( estadística inferencial), pudiera haber interés en averiguar si es más probable que las personas que conducen automóviles grandes sean más agresivas que aquellas que conducen automóviles pequeños. Debido al gran numero de personas que habría sondear, estaría fuera de consideración la investigación de cada conductor de automóvil. Seria necesario estudiar una muestra de ellos, y usar los resultados de la muestra para hacer inferencias que se espera serán aplicables a todos los conductores de automóviles. Sin embargo, como solo sé esta estudiando una muestra, hay la posibilidad de que las conclusiones pueden no ser del todo precisas y nunca puede tenerse la certeza de que se ha hecho la inferencia correcta. Por esta razón el uso de la estadística inferencial puede considerarse como una ayuda para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. No obstante, es diferente de la conjeturacion, puesto que en la estadística se proporciona también un método para estimar el grado de confiabilidad de las conclusiones. En cada proposición estadística que se hace, se indica la probabilidad de que los descubrimientos como los hechos podrían haber sido el resultado de factores casuales.

Que es población?

Una población es el conjunto total de eventos que sé esta considerando. La población de interés podría ser el conjunto de toas las personas, o el conjunto de las personas que residían en Londres en 1982, o el conjunto de todos los niños en edad escolar que provienen de un hogar malogrado. Una población es su uso estadístico no tiene que estar formado por personas. Por ejemplo, pudiera haber interés en la población de utensilios de la edad de hierro, i en la población de las calculadoras de bolsillo fabricadas por cierta compañía o en la población de palabras de la novela de Rex Stout o en la población de los resultados del examen del primer año de psicología en 1968 de la Universidad de Newcastle en Tyne. Cualquier conjunto completo de personas objetos o resultados que tengan alguna característica observable común constituyen una población.

Que es muestra?

Se dice de cualquier fracción de una población y sobre la que se estudian ciertas características que posteriormente se generalizan a todo el conjunto. La selección de la muestra se efectúa según un criterio determinado y sus características dependen del muestreo que se tiene que realizar. Por ejemplo, el conjunto de palabras del capitulo 2 de la novela de Rex Stout es una muestra de la población de palabras de la novela completa.

Que es muestreo?

Estudio, por medio de muestras representativas y debidamente elegidas, de las características de una población. En su empleo interesa tener en cuenta los siguientes factores: Los procedimientos para obtener una muestra verdaderamente representativa, para determinar la probabilidad de que posea las características de la población y para determinar el tamaño según la precisión que de ella se quiere obtener en las conclusiones estadísticas posteriores.

Tipos de muestreo

Fundamentalmente el muestreo es de dos tipos:

Probabilistico : permite calcular el posible error de la muestra, y

No probabilistico: En el que el calculo del error no es posible

De entre los primeros él mas utilizado es el llamado aleatorio o al azar, en el cual la muestra se obtiene mediante sorteo de los individuos que la tienen que formar. El segundo puede ser de dos clases: por cuotas, en el que solo se especifica el tamaño de la muestra y las características que tienen que tener los individuos que la componen, y por juicio, en el que el investigador selecciona los individuos de la muestra según su representatividad.

Tamaño muestral

Es la unión de todos los efectos posibles de una serie de pruebas estadísticas.

Que es atributo y coloque un ejemplo.

Las características de los elementos que no se pueden medir se denominan atributos o variables cualitativas. Ejemplo : hombre - mujer es lo mismo; pero hay una distincion.

Que es variable y ejemplo.

Se le llama variable a cualquier cantidad medible que puede variar de un individuo a otro. Un ejemplo en la población de palabras de la novela de Rex Stout, la variable en la que había interés era la longitud de las palabras; cada palabra individual tiene una longitud particular y esta puede variar de una palabra a otra.

Tipos de variables y ejemplo.

• Variable cualitativa: esta constituida por la marca, el tipo, el color y el estado general; que corresponde a aspectos que no se pueden medir sino observar, y por ello se denominan variables cualitativas. Pueden ser nominales o ordinarias.

• Variable cuantitativa: esta constituida por el tiempo de uso, el precio, el tamaño del marco y él numero de velocidades, que corresponden a aspectos que son medibles y por ello se denominan cuantitativas. Puede ser discreta o continua.

• Variable aleatoria: Una variable aleatoria es una función que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y con una letra minúscula, como x, el valor posible de x. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X recibe el nombre de rango de X.

Ejemplo: El sistema de comunicación por voz de una empresa tiene 48 líneas externas. En un determinado momento, se observa el sistema y algunas líneas están ocupadas. Sea X la variable aleatoria que denota él numero de líneas en uso. Entonces X puede tomar cualquier valor entero de cero a 48.

• Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria con un rango finito.
• Variable aleatoria discreta uniforme: Una variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta uniforma si cada uno de los n valores que están en el rango de esta, x1, x2, …x11, tiene la misma probabilidad.

• Variable aleatoria continua: Si el rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo ( ya sea finito o infinita) de numera reales.

En algunos ejemplos, la variable aleatoria en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, puede resultar más conveniente utilizar un modelo basado en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, una escala digital puede mostrar el peso de una pieza redondeado hasta centésimos de gramo, tal vez sea conveniente pensar el peso de la pieza como una variable aleatoria continua. Como otro ejemplo, es posible medir la corriente hasta el microampere más cercano. Dado que solo es posible un numero entero de microamperes, la variable aleatoria es discreta. Sin embargo, tal vez sea más conveniente suponer que las mediciones de corriente corresponden a valores de una variable aleatoria continua.
- Variable aleatoria normal estándar: Una variable aleatoria normal con = 0 y =1 y se denota por Z.

Distribución de frecuencias

Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0; 3,5; 4,3; 5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a primera vista, que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la máxima y la mínima es 7.